Décomposition d'un naturel en 5 tétraédriques
Énoncé
Conjecture de Pollock :
Soit T la suite des nombres tétraédriques : T_n = \sum_(i=0)^n \sum_(j=0)^i j,
alors on a : \forall n \in \N, \exists (i, j, k, l, m) \in \N^5 | T_i + T_j + T_k + T_l, + T_m = n
Valeurs :
Un nombre tétraédrique i est la somme des nombres triangulaires de 0 à i.
Un nombre triangulaire i est la somme des nombres naturels de 0 à i.
Pour les nombres triangulaires, on peut trouver géométriquement une formule : le iieme nombre triangulaire représente la moitié de l'aire d'un rectangle de taille i*(i+1) : sur une grille de taille i par (i+1), sur la première ligne, prendre un cube et en laisser n. sur la seconde en prendre deux et en laisser n-1, ainsi de suite jusqu'à en prendre n et en laisser 1. On aura alors pris la moitié de la grille, et la grille fait n par n+1. La somme est donc : \frac{n(n+1)}{2}
Pour les tétraèdres on a donc : T_n = \sum_(i=0)^n \frac{i(i+1)}{2}
T_n = \frac{ \sum_(i=0)^n i^2 + i}{2}
Or on sait pour la somme des carrés que : \sum_{i=1}^{n} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
T_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{12} + \frac{n(n+1)}{4}
T_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{12} + \frac{3n(n+1)}{12}
T_n = \frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)}{12}
T_n = \frac{n(n+1)(2n+1 + 3)}{12}
T_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}
Géométriquement :
Le Nieme nombre tétraédrique, c'est le nombre de verres dont on a besoin pour faire un tétraèdre de hauteur N (N triangles de tailles de 1 à N)
Problème :
Faire une vérification informatique. (solution avec un crible ou en cherchant avec une méthode gloutone)